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[회로이론] RC 회로

category Theory/Lecture 2010.01.05 16:01
본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 회로이론 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 회로이론 제7판 (Thomas L. Floyd 지음, 이응혁 외 번역, ITC)의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.

RC 회로의 정현파 응답

직렬로 연결된 RC회로에 전압을 정현파로 인가하면, 저항의 전압 Vr이 전원전압 Vs 보다 앞서서 나타나고, 캐패시터의 전압 Vc은 전원전압 Vs보다 뒤져서 나타나는 현상을 관찰할 수 있습니다. 또한, 전류가 Vs보다 앞서서 나타나는 현상도 관찰할 수 있는데요. 이런 위상차이를 고찰해 보도록 하겠습니다.

 

먼저 임피던스(Impedance)라는 용어부터 정의해야겠네요. 임피던스는 저항과 용량성 리액터스로 구성되며 정현파 전류의 흐름을 방해하는 전체적인 성질의 정도를 의미합니다. 단위는 옴[ohm]을 사용합니다. 위 그림을 보면, 정현파 전압에 저항만 하나 연결된 경우 임피던스는 저항과 같습니다. 만약 캐패시터만 하나 연결된 경우라면 임피던스와 용량성 리액터스는 같겠죠. 그러나 위의 그림(c)처럼 저항과 캐패시터가 직렬로 연결된 경우라면 해석이 필요합니다.

 

위 그림에서 보면, 저항과 용량성 리액턴스는 90도의 위상차를 가집니다. 이건 지난번[[공학기초/Theory] - [회로이론] 캐패시터]에 이야기한 것이구요. 저항과 캐패시터가 직렬로 연결된 경우, 전체 임피던스는 위 그림에서 대각선을 의미합니다. 그러니 임피던스는 R과 Xc를 안다면, 대각선의 길이와 그 각도를 구하는건 쉬운 일이겠지요.

이렇게요^^ 

그러면 최종적으로 직렬연결된 RC회로의 임피던스의 크기와 그 위상각을 알 수 있게 됩니다. 임피던스도 정현파에 대한 저항성분이기 때문에 기본적으로

옴의 법칙을 만족합니다. 예제하나 보죠

위 회로에서 입력 정현파의 주파수를 알고 있네요. 그리고 캐패시턴스도 알고 있으니 용량성 리액턴스는 구할 수 있고 그로부터 임피던스의 크기와 위상각을 찾을 수 있죠. 또 임피던스의 크기를 알게 되었으니 전원전압도 알 수 있게 됩니다.

위상각의 크기도 알았으니

위와 같이 페이저도라고 부르는 것도 그릴수있게 되겠네요^^ 

다시 정리해서 위와 같이 저항의 전압과 캐패시터의 전압과 전원전압간의 위상각을 조사할 수 있습니다. 이는

 

처음 이야기했던 부분인데요. 서로의 위상차를 설명해주고 있습니다. 

주파수와의 관계를 살짝 들여다 봐야겠네요. 용량성리액턴스는 주파수가 증가하면 감소합니다. 위 그림을 보면 주파수가 증가하면, 용량성 리액턴스는 감소하지요. 저항은 그대로인데 주파수가 증가해서 용량성 리액턴스가 감소한다면, 당연히 전체 임피던스가 감소하게 됩니다. 전체 임피던스가 감소하면 또한 당연히 전체 전류가 증가하게 되지요. 위 그림은 그런 상황에 대해 설명하고 있습니다. 

RC 지상회로와 진상회로

위와 같이 R과 C를 연결하고, C단자를 Vout이라고 하면 출력전압이 입력전압에 대해 뒤지는 위상을 각는 회로가 됩니다. 이를 RC 지상회로(RC lag)라고 합니다.

결과가 위와 같지요. 

용량성 리액턴스를 생각한다면 출력전압은 전압분배로 생각하면 되구요. 위상각은 90도에서 빼주면 됩니다. 이유는

그림대로입니다.

위 회로에서 캐패시터가 아니라 저항단에 출력을 잡으면 위상이 앞서서 나오는

진상회로 (RC lead)가 됩니다.

 

역시 계산식은 위와 같으며

얼마자 앞서는지, 진상각도 알수있구요.

병렬 RC회로

위에서처럼 병렬 RC회로의 임피던스와 위상각은

이렇게 구할 수 있습니다. 전체임피던스를 분모로 분자에는 두 저항성분의 곱이 합성임피던스가 되죠. 잘 생각해보면 뭐 두 저항의 병렬연결과 같은 원리입니다. 병렬회로에서의 해석에 유리하도록 몇몇 용어를 정리하고 가겠습니다.

컨던턱스(G)는 저항의 역수

로 단위는 지멘스[S]입니다. 용량성 서셉턴스(capacitive susceptance)는 용량성 리액턴스의 역수로

 

역시 단위는 지멘스입니다. 임피던스의 역수를

어드미턴스라고 하고 물론 단위는 지멘스입니다.

위의 RC 병렬회로를 보면, 전류의 위상을 생각하면

입니다. 이런 병렬 RC회로는 등가의 직렬 RC 회로로 변환이 가능한데요. 전체 임피던스와 위상만 알면 되지요. 

위 그림은 병렬 RC회로의 등가 직렬회로에 대한 임피던스 페이저도입니다. Z와 theta는 병렬회로에서 구한 값이고, Req와 Xc_eq는 등가로 구성할 직렬 회로의 값입니다. 간단한 예를 하나 들면

위 회로를 직렬로 바꾸도록 하지요. 일단 임피던스(병렬이니 어드미턴스)를 구하도록 해보겠습니다.

그리고 

등가의 직렬회로에서의 값을 구한후

 

회로를 구성하면 되죠. 

RC회로의 전력

저항에서 소모되는 전력을 유효전력, 캐패시터에 저장되는 전력을 무효전력이라고 합니다. 유효전력의 단위는 W 와트이고 무표전력의 단위는 VAR입니다. 발음을 어떻게 하죠..? 저도 잘 모르겠네요.. 그냥 바알?^^ 

유효전력과 무효전력을 구하는 식입니다. 전력의 페이저도를 보면

원래의 용량성 리액턴스와 저항과 임피던스의 그림에서

전류를 넣어서 전력으로 두면 되죠^^

 

이렇군요^^ 

뭐 간단한 식들이긴 하지만, 정리해둡니다. 

저역통과필터(low pass filter)

위 그림을 보세요. 출력단은 캐패시터에서 잡았습니다. 전원전압의 주파수가 작아질수록 본래의 전압 10V에 근접한 출력이 나오죠?

 

그걸 주파수에 따라 출력전압값을 그린그림이 위에 있습니다. 저렇게 낮은 주파수일 수록 본래의 전압에 근접한 출력을 내놓는것을 저역통과필터라고 합니다.

고역통과필터(high pass filter)

저역통과필터와는 달리 고역통과필터는 주파수가 높아 질수록 입력전압에 가까운 출력을 갖는 것입니다.

 

위의 그림처럼 말이죠. RC회로에서 본래의 전압의 70%쯤.. 정확하게는 0.707지점을 차단 주파수(cutoff frequency)라고 합니다. 저역통과필터에서 보여드리자면

입니다. 차단 주파수를 구하는 것은

입니다. 

[2009] circuit 10.pdf