본 자료는 국립 창원대학교 메카트로닉스 공학부 학생을 대상으로 한 회로이론 수업 자료입니다. 본 자료는 수업의 교재인 회로이론 제7판 (Thomas L. Floyd 지음, 이응혁 외 번역, ITC) 의 내용을 재구성한 것으로 수업보조 자료 이외의 목적이 없음을 알립니다.


RC 회로의 정현파 응답

직렬로 연결된 RC회로에 전압을 정현파로 인가하면, 저항의 전압 Vr이 전원전압 Vs 보다 앞서서 나타나고, 캐패시터의 전압 Vc은 전원전압 Vs보다 뒤져서 나타나는 현상을 관찰할 수 있습니다. 또한, 전류가 Vs보다 앞서서 나타나는 현상도 관찰할 수 있는데요. 이런 위상차이를 고찰해 보도록 하겠습니다.

 
먼저 임피던스(Impedance)라는 용어부터 정의해야겠네요. 임피던스는 저항과 용량성 리액터스로 구성되며 정현파 전류의 흐름을 방해하는 전체적인 성질의 정도를 의미합니다. 단위는 옴[ohm]을 사용합니다. 위 그림을 보면, 정현파 전압에 저항만 하나 연결된 경우 임피던스는 저항과 같습니다. 만약 캐패시터만 하나 연결된 경우라면 임피던스와 용량성 리액터스는 같겠죠. 그러나 위의 그림(c)처럼 저항과 캐패시터가 직렬로 연결된 경우라면 해석이 필요합니다.

 
위 그림에서 보면, 저항과 용량성 리액턴스는 90도의 위상차를 가집니다. 이건 지난번[[공학기초/Theory] - [회로이론] 캐패시터]에 이야기한 것이구요. 저항과 캐패시터가 직렬로 연결된 경우, 전체 임피던스는 위 그림에서 대각선을 의미합니다. 그러니 임피던스는 R과 Xc를 안다면, 대각선의 길이와 그 각도를 구하는건 쉬운 일이겠지요.


이렇게요^^ 


그러면 최종적으로 직렬연결된 RC회로의 임피던스의 크기와 그 위상각을 알 수 있게 됩니다. 임피던스도 정현파에 대한 저항성분이기 때문에 기본적으로


옴의 법칙을 만족합니다. 예제하나 보죠


위 회로에서 입력 정현파의 주파수를 알고 있네요. 그리고 캐패시턴스도 알고 있으니 용량성 리액턴스는 구할 수 있고 그로부터 임피던스의 크기와 위상각을 찾을 수 있죠. 또 임피던스의 크기를 알게 되었으니 전원전압도 알 수 있게 됩니다.


위상각의 크기도 알았으니


위와 같이 페이저도라고 부르는 것도 그릴수있게 되겠네요^^ 


다시 정리해서 위와 같이 저항의 전압과 캐패시터의 전압과 전원전압간의 위상각을 조사할 수 있습니다. 이는

 
처음 이야기했던 부분인데요. 서로의 위상차를 설명해주고 있습니다. 


주파수와의 관계를 살짝 들여다 봐야겠네요. 용량성리액턴스는 주파수가 증가하면 감소합니다. 위 그림을 보면 주파수가 증가하면, 용량성 리액턴스는 감소하지요. 저항은 그대로인데 주파수가 증가해서 용량성 리액턴스가 감소한다면, 당연히 전체 임피던스가 감소하게 됩니다. 전체 임피던스가 감소하면 또한 당연히 전체 전류가 증가하게 되지요. 위 그림은 그런 상황에 대해 설명하고 있습니다. 




RC 지상회로와 진상회로

위와 같이 R과 C를 연결하고, C단자를 Vout이라고 하면 출력전압이 입력전압에 대해 뒤지는 위상을 각는 회로가 됩니다. 이를 RC 지상회로(RC lag)라고 합니다.


결과가 위와 같지요. 


용량성 리액턴스를 생각한다면 출력전압은 전압분배로 생각하면 되구요. 위상각은 90도에서 빼주면 됩니다. 이유는


그림대로입니다. 



위 회로에서 캐패시터가 아니라 저항단에 출력을 잡으면 위상이 앞서서 나오는


진상회로 (RC lead)가 됩니다.

 
역시 계산식은 위와 같으며


얼마자 앞서는지, 진상각도 알수있구요.




병렬 RC회로

위에서처럼 병렬 RC회로의 임피던스와 위상각은


이렇게 구할 수 있습니다. 전체임피던스를 분모로 분자에는 두 저항성분의 곱이 합성임피던스가 되죠. 잘 생각해보면 뭐 두 저항의 병렬연결과 같은 원리입니다. 병렬회로에서의 해석에 유리하도록 몇몇 용어를 정리하고 가겠습니다.

컨던턱스(G)는 저항의 역수


로 단위는 지멘스[S]입니다. 용량성 서셉턴스(capacitive susceptance)는 용량성 리액턴스의 역수로

 
역시 단위는 지멘스입니다. 임피던스의 역수를


어드미턴스라고 하고 물론 단위는 지멘스입니다.
 

위의 RC 병렬회로를 보면, 전류의 위상을 생각하면



입니다. 이런 병렬 RC회로는 등가의 직렬 RC 회로로 변환이 가능한데요. 전체 임피던스와 위상만 알면 되지요. 


위 그림은 병렬 RC회로의 등가 직렬회로에 대한 임피던스 페이저도입니다. Z와 theta는 병렬회로에서 구한 값이고, Req와 Xc_eq는 등가로 구성할 직렬 회로의 값입니다. 간단한 예를 하나 들면


위 회로를 직렬로 바꾸도록 하지요. 일단 임피던스(병렬이니 어드미턴스)를 구하도록 해보겠습니다.


그리고 


등가의 직렬회로에서의 값을 구한후

 
회로를 구성하면 되죠. 




RC회로의 전력
저항에서 소모되는 전력을 유효전력, 캐패시터에 저장되는 전력을 무효전력이라고 합니다. 유효전력의 단위는 W 와트이고 무표전력의 단위는 VAR입니다. 발음을 어떻게 하죠..? 저도 잘 모르겠네요.. 그냥 바알?^^ 


유효전력과 무효전력을 구하는 식입니다. 전력의 페이저도를 보면


원래의 용량성 리액턴스와 저항과 임피던스의 그림에서


전류를 넣어서 전력으로 두면 되죠^^

 
이렇군요^^ 


뭐 간단한 식들이긴 하지만, 정리해둡니다. 




저역통과필터(low pass filter)와 고역통과필터(high pass filter)
저역통과필터(low pass filter)


위 그림을 보세요. 출력단은 캐패시터에서 잡았습니다. 전원전압의 주파수가 작아질수록 본래의 전압 10V에 근접한 출력이 나오죠?

 
그걸 주파수에 따라 출력전압값을 그린그림이 위에 있습니다. 저렇게 낮은 주파수일 수록 본래의 전압에 근접한 출력을 내놓는것을 저역통과필터라고 합니다.

고역통과필터(high pass filter)


저역통과필터와는 달리 고역통과필터는 주파수가 높아 질수록 입력전압에 가까운 출력을 갖는 것입니다.

 
위의 그림처럼 말이죠. RC회로에서 본래의 전압의 70%쯤.. 정확하게는 0.707지점을 차단 주파수(cutoff frequency)라고 합니다. 저역통과필터에서 보여드리자면


입니다. 차단 주파수를 구하는 것은


입니다. 

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  • 탐진강 2010/01/09 16:08

    RC회로 오랫만에 들어보네요. ^^;
    주말 잘 보내세요

    • PinkWink 2010/01/10 06:20

      프로젝트 결과보고서 작성으로 금토일을 이어서 밤샘중입니다...
      에구... 그래도 좀있다 잠들고 나면 저녁무렵부터 남을 주말이라도 잘 보내야지요^^ 감사합니다...^^

  • 이형준 2010/01/18 15:03

    이런 글을 남겨주셔서 감사합니다. 처음부터 다시 시작하는 저에겐 너무 좋은 자료 입니다 ^^

  • 공학도 2010/03/25 00:36

    전자공학도로써 RC회로에 대해 조금더 찾다가 여기 블로그를 봅니다 .
    정말 설명도 잘 되어있어서 이해하기 쉽고 ,
    공부할게 참 많네요

    전자 , 공업수학, 로봇까지 관련된 자료를 모으고 계신 분이 어떤일은 하시는 분일까
    궁금하기 까지 하네요 //

    잘 보고 갑니다// 좋은 밤 되세요 //

    • PinkWink 2010/03/25 06:27

      없는 실력에 기억을 놓치고 싶지 않아 노트처럼 정리한 것이라 생각하시면 됩니다.. (상당히 머리가 나쁜편이라는...ㅜ.ㅜ)
      좋은 자료가 되었다니 제가 오히려 고맙습니다.^^

  • netjin 2010/04/05 20:56

    저항, 캐퍼로 간단히 회로 만들어서 오실로스코프로 측정해본 결과를 제 블로그에 싣고 이론은 이곳 참조하라고 연결해두었습니다. 감사합니다.

    • PinkWink 2010/04/06 07:21

      예~~ 방갑습니다. 그리고 제 자료가 조그마한 도움을 드렸다니 또한 다행입니다.^^

  • 김민우 2010/04/12 23:27

    질문이요~! 위 부분쯤에요 임피던스 설명하는 쪽에서 Vs값을 구할때 0.2 mA는 어떻게 나온건가요?

    • PinkWink 2010/04/13 00:04

      어이쿠.. 죄송합니다... 0.2mA는 예제에서 주어져야하는 것입니다.^^ 실수로 0.2mA가 흐를때라는 말을 하지 않았네요^^

  • 김민우 2010/04/12 23:43

    하 너무 질문 많이 하나요 ㅜㅜ 평소에 모르던걸 여기서 알게되니까 신나서 그런가 같아요 ㅜㅜ

    병렬RC회로에서 Z값을 구할때 병렬저항구하는것과 같다면 분모가 Xc + R이 되어야 하지 않나요?

    • PinkWink 2010/04/13 01:37

      그 부분은 제가 설명을 용이하게 하기 위해서이고, 전체 저항성분이 분모에 있어야하니까.. 위상차를 가지는 R-C-L 시스템의 경우 전체 임피던스를 적용하면 됩니다.

  • 김민우 2010/04/12 23:50

    마지막 질문이요 ~ 저역 주파수와 고역 주파수가 어디에 전압을 측정하느냐에 따라 변한다는게 신기한데요

    혹시 식으로 나타낼 수 있나요?

    • PinkWink 2010/04/13 01:39

      앗..~~ 이 질문은 제가 잘~ 모르겠습니다..ㅜㅜ
      왜냐면 이미 C 쪽의 출력인지 R 쪽의 출력인지 이야기했으니.. 충분히 출력 수식은 설명이 된것 같은데요^^

      밤늦게 공부하시는 모습이 아름다워보입니다.^^

      원하시는 답변이 되었으면 좋겠는데 말이죠^^

      (그나저나 폭풍같은 질문이었습니다...^^)

  • 와우 2010/09/14 02:56

    기초가 모자라 RC회로에 대해서 찾다가 오게 되었습니다. 쉽고 말하듯이 설명되어 있어 손으로 쓱쓱 따라 써가며 읽으니 이해가 잘되네요 ^^ 정말 큰 도움이 되었습니다. 감사합니다!

    • PinkWink 2010/09/14 08:26

      네.. 도움이 되었다니 저도 기분이 좋습니다.^^

  • 대박자료 2010/10/19 00:18

    잘 읽었습니다. 그래프 관련 문제인데,,, RC직렬 회로에서
    q=cv(1-e^-t/RC) 여기 식에서 혹시 Vr와 Vc.. i.q 를 t에대해 그래프 그릴수있나요??? t가0 일때와 t가 무한대로 갈때까지요.. 부탁드릴꼐요 ^^

    • PinkWink 2010/10/19 11:21

      물론 그릴수 있겠죠...
      그러나 손으로 그리는것보다는 PSpice같은 툴로 그려서 확인해보시는게 좋을 듯합니다.
      댓글로는 설명하기 난감하고 지금 PSpice 연재중이니 참조하시면 될듯합니다.

  • 전자공학 2010/12/09 13:20

    덕분에 도움 많이 되었습니다
    질문하나 드려도 될까요
    Vs와 Vc의 시간차는 어떻게 구하면 되죠?

    • PinkWink 2010/12/09 14:04

      위상차로 알 수 있습니다. 위상차는 본문에 theta를 구하는 것으로 알 수 있습니다. 인가 주파수를 알고 있으니 위상차만 알면 시간차를 구할 수 있겠죠

  • 박종찬 2011/09/26 17:12

    저항의 전압과 캐패시터의 전압 위상차가 90도인걸 독립적인 요소로 생각해도 되나요?

    • PinkWink 2011/09/27 18:53

      90도라서 '독립'이라는 말을 사용하신 건가요?

  • 전자 2011/10/18 13:41

    먼저 보면서 많은 도움이 될 것 같아 감사인사 드립니다.
    그런데 지금 제가 전자수업을 듣고 있어 다이오드 회로라던가 PIV라던가
    이런것들을 배우는데 어딜 참조하면 좋을지 감이 잘 안오는데 조언을 구해도 괜찮을까요?

    • PinkWink 2011/10/18 20:17

      글쎄요. 말씀하신 것은 어떻게 공부하는 방향을 잡으셨냐에 따라 달라서요.
      만약 기초적인 이론이라면, 당연히 전자회로라는 대학가에서 사용하는 교재를 보시면 되구요.
      만약 하고자 하시는 것이 직접적인 사용과 실무적인 부분이라면, 간단히 인터넷으로 서치만 하셔도 얻을 수 있습니다.
      실무적인 부분이라면 오실로스코프와 함께 직접 실험을 수행하시면 결과를 얻을 수 있구요.
      만약 그럴 여건이 되지 않는다면, PSpice같은 시뮬레이션 툴을 사용해서 구해보실 수도 있습니다.

  • 1234 2011/12/08 16:07

    좋은정보 감사합니다. 근데 RC회로에서 위상각 맞게 쓰신건가요? 닐슨책 보고있는데 로패스필터와 하이패스필터의 위상각이 쓰신것과 반대로 나와있어서 그렇습니다. 제가 이해하고 있는바로도 위에 쓰신게 맞는데, 책내용과 맞지 않네요.

    • PinkWink 2011/12/08 17:34

      글쎄요... 저야 뭐... 당연히 맞다고 올린건데요^^
      닐슨책을 가지고 있긴한데...
      확인은 안해봐서...
      위키문서를 봐도 제 설명과 같더라구요...

  • 정민모 2012/09/07 14:56

    비전공자도 이해할 수 있도록..너무 감사합니다..

  • 궁금증 2013/01/05 17:58

    직렬 rc회로는 각을 구할때 Xc/R 인데
    병렬 일대는 R/Xc 처럼 구하는 이유가 궁금합니다.

    • PinkWink 2013/01/07 08:56

      식의 결과만 놓고 그렇게 생각할 수는 없습니다. 유도된 과정을 보셔야합니다.

  • teamjsa 2013/05/19 11:45

    좋은 내용 감사합니다.
    내일 발표 때 여기에 있는 내용을 참조하려고 하는데. 괜찮을까요?

    • PinkWink 2013/05/20 10:16

      네.. 상관없답니다. 저도 누군가의 글을 참조로 (하다못해 MATLAB의 help라도) 글을 적었을 테니까요^^

  • teamjsa 2013/05/19 12:05

    RC 혼합 연결(직렬+병렬)일 경우,
    병렬 연결 부분만을 우선 등가의 직렬로 변경한 다음
    해석이 가능한 것인가요?

    • PinkWink 2013/05/20 10:17

      해석방법은 다양합니다, 물론 상황에 따라 최적의 해석방법이 있긴 하겠지만요.

  • 오일뱅크 2013/06/21 13:42

    쉽게 설명을 잘해주셔서 너무나 잘 보았습니다. 감사합니다.

    • PinkWink 2013/06/21 19:10

      아이쿠.. 그렇게 말씀해 주시니 감사합니다.

  • 지나가다가.. 2013/11/11 03:04

    이번에 위상차관련 보고서를 쓰다가 개념을 이해하지 못하여 방황을 좀 했습니다..
    우연히 이 곳 블로그에 들러 자세한 설명을 읽고, 완벽하게 이해를 하였습니다.
    정말 좋은 글 감사합니다. 앞으로 자주 들러 참조하겠습니다.

  • 사람 2013/12/02 20:52

    R과 C를 연결하고, C단자를 Vout이라고 하면 출력전압이 입력전압에 대해 뒤지는 위상을 각는 회로가 됩니다. 이를 RC 지상회로(RC lag)라고 합니다.

    라고 하셨는데, 보통 진상 지상 회로를 이야기 할 때 전류와 전압의 위상을 비교하여 구별하지 않나요??

    • PinkWink 2013/12/03 09:21

      네.. 당시 제가 수업할때도 이야기했던 내용인데...
      본 교재는 입력전압에 대해 출력으로 설정된 곳의 전압이 뒤지느냐 앞서느냐를 언급하는 부분이었습니다.
      후에 다시 전압과 전류에 대해서도 설명을 하는 부분이 있었습니다.
      앞서느냐 뒤지느냐에 대한 부분을 본 교재는 전압과 전류 등으로 세분화해서 설명하고 있었습니다.

  • Jeon 2014/05/08 01:21

    오실로스코프로 측정시 질문이 있습니다.
    정현파 신호(+) - 저항 - 커패시터 - 정현파 (-) 연결로 되어있을시에,
    커패시터 양단을 찍으면 제대로 나오는데,
    왜 저항 양단에 오실로스코프로 측정시에 입력전압과 위상과 전압크기가 똑같이 뜨는지 알고 싶습니다..
    왜 저항과 커패시터 위치를 바꿔서 측정해야하나요 ?

    • PinkWink 2014/05/08 13:52

      저항과 커패시터의 특성에 관한 문제입니다.
      저항은 그런 성질을 가졌으며
      커패시터는 충방전에 따른 위상차를 가지는 특성을 가졌기 때문입니다.

    • Jeon 2014/05/08 15:10

      네 특성과 이론은 대충 알고 있습니다.
      첫번째 그림에서 보면,
      R-C 연결에서, 저항은 VR이 Vs를 앞선다고 나와있고,
      VC는 VS에 뒤진다고 나와있습니다.

      그런데 실제 오실로스코프로 R-C연결에서 저항 양단을 측정할시 입력전압과 똑같은 위상과 크기가 나오고, 커패시터 양단은 이론값이랑 비슷하게 나왔습니다. (저항 양단을 측정시 전압강하된 크기가 나와야 하는거 아닌가요 ?)

      그래서 C-R연결로 바꾸고 저항 양단을 측정할시 이론값이랑 비슷하게 나오고, 커패시터 양단을 찍으면 입력전압과 똑같이 나오게 나오는데,


      즉, C-R, R-C 연결에서 앞단의 소자의 전압이 제대로 나오지 않는
      원인을 혹시 알 수 있을 까요 ? 제가 실험을 잘못한것일까요 ?

    • PinkWink 2014/05/09 01:00

      뭐 저도 잘 알지는 못한답니다.^^. 아무튼 질문하신 것의 답인진 모르겠지만,
      소자의 양단을 측정하는가... 그라운드 대비 단자를 측정하는가의 차이로 보입니다.
      R-C, C-R 뭐가 다르지? 라는 질문에 대한 것도 사실 그라운드가 어디에 있었는가의 문제입니다.
      전압강하는 왜 나타나지 않는가? 라는 질문 역시도 단자의 양단이냐, 그라운드 대비 두 단자를 각각 측정해보는가의 차이이구요. 하도 오래전이라 정확하지 않을지도 모릅니다.^^

  • 레드포탈 2014/08/02 23:50

    이렇게 쉽게 설명된 글 처음봤습니다. 덕분에 살았습니다. 정말 감사합니다 ㅠㅠ

    • PinkWink 2014/08/03 22:32

      도움이 되었다니 다행이네요...
      그렇게 이야기해주셔서 감사합니다.^^